الاحصاء

السبت، 23 أكتوبر 2010

الانحراف المتوسط

الانحراف المتوسط: The Average Devieition
الانحراف المتوسط أو متوسط الانحرافات هو القيمة المطلقة (الناتج الموجب) لمجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي مقسوما على عددها، ويرمز له بالرمز Dm

Dm = ( ∑ | Xi –`X | ) / n , i = 1, 2 , 3 , 4 , ... , n

تنبيه: القيمة المطلقة للعدد X تكتب | X | وتقرأ مقياس X أو مطلق X وإن |5| = 5 ، | – 5 | = 5
مثلاً: أوجد الانحراف المتوسط للقيم 14 ، 16 ، 10 ، 8 ، 2
مجموع قيم المشاهدات = 14 + 16 + 10 + 8 + 2 = 50
الوسط الحسابي = 50 ÷ 5 = 10
الانحرافات عن الوسط الحسابي هي |14 –10| ، |16 – 10| ، |10 – 10| ، |8 – 10| ، |2 – 10| أي 4 ، 6 ، 0 ، 2 ، 8
مجموع الانحرافات = 4+ 6 + 0 + 8 + 2 = 20
الانحراف المتوسط = 20 ÷ 5 = 4
المعطيات المبوبة:
نحسب الوسط الحسابي بعد ضرب مركز كل فئة في تكرارها ثم حساب الانحرافات عن الوسط واستخدام القانون

Dm = ( ∑fi | Xi –`X | ) / ∑fi , i = 1, 2 , 3 , 4 , ... , n

مثال:
احسب الانحراف المتوسط من جدول التوزيع التكراري الآتي والذي يبين درجات 30 طالب في امتحان ما.

الفئاتالتكرار fi
مركز الفئة (Xi)
fi Xi| Xi –`X | fi | x –`X |12 – 1431339| 13 – 18.7 | = 5.717.115 – 17816128| 16 – 18.7 | = 2.721.618 – 201019190| 19 – 18.7 | = 0.33.021 – 23722154| 22 – 18.7 | = 3.323.124 – 2622550| 25 – 18.7 | = 6.312.6Total3056177.4

الوسط الحسابي = ( 39 + 128 + 190 + 154 + 50 ) ÷ 30 = 18.7 ونحسب الانحراف المتوسط Dm من القانون أعلاه أي:

Dm = ( ∑fi | Xi –`X | ) / ∑fi = 77.4 / 30 = 2.58

تنويه:

الانحراف المتوسط أكثر دقة من المدى والانحراف الربيعي لشموله كل القيم ولكنه محدود الاستخدام لتأثره بالقيم الشاذة وتجاهله الإشارة السالبة، كما يمكن حساب الفرق عن طريق الوسيط بدلاً من الوسط الحسابي حيث يكون المجموع أصغر ما يمكن إلا أن الحساب عن طريق الوسط الحسابي هو الأكثر شيوعاً، ومع ذلك تظل أهمية هذا المقياس محدودة.

الموضوع الأصلي : الانحراف المتوسط: The Average Devieition -||- المصدر : منتديات -||- الكاتب : كبريـ انثى ـاء

الجمعة، 22 أكتوبر 2010

التباين

الانحراف المعياري

أمثله في الإحتمال المشروط

مثال :

مصنع للقمضان يحتوي على ثلاث ماكينات A و B و c. تنتج الماكينه A 50% من الإنتاج الكلي للمصنع

وتنتج الماكينة B 30% من الإنتاج الكلي للمصنع. تنتج الماكينة C 20% من الإنتاج الكلي للمصنع،

إذا علم أن نسبة الإنتاج التالف من القمصان لهذه الماكينات الثلاثه

هي 3% و 4% و 5% على التوالي واختير قميص من القمصان بشكل عشوائي :

أ) ما هو احتمال أن يكون القميص تالفا ؟
ب) إذا كان القميص المختار تالفا فما احتمال أن يكون من إنتاج الماكينة A ؟

الحل :
أ) لنفرض أن x= وحدة تالفة .

P (X) = (P A) P (X / A) + P (B) P (X / B) + P (C) P (X / C)

P (X) = 0.5 * 0.03 + 0.3 * 0.04 + 0.2 * 0.05

==>

P (X) = 0.037

$P(X/A) = \frac{P(A)P(X/A)}{P(A)P(X/A)+P(B)P(X/B)+P(C)P(X/C) }$

$P(X/A)=\frac{0.5*0.03}{0.037}$

P (X / A) = 0.4

نظريات الإحتمال المشروط:

نظرية التجزئة :

ليكن :

A 1, A 2, A 3,.... A n

،
B محوي في Ω

أي أن n احداث بحيث أن كل حدثين من بينها غريبان أي (مجموعة خالية) = $A_1 \cap A_1$ ،i ≠ j

القانون: $P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)\, P(B/A_i)$

نظرية ضرب على الإحتمال المشروط:

$P(A \cap E) = P(E) * P(A/E)$

$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ... \cap A_n = P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1 \cap A_2) ...P(A_n/A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ... \cap A_n-1)$

نظرية بيس :

ليكن :

A 1, A 2, A 3,.... A n

n أحداث بحيث أن كل حدثين من بينها غريبان $= A_i \cap A_j$ (مجموعة خالية)

لكل i ≠j

القانون: $P(A_i/B) = \frac{P(A_i)P(B/A_i)}{P(A_1)P(A_2) + P(A_2)P(B/A_2) +... + P(B/A_n)P(B/A_n)}$

$P(A_i/B)= \frac{P(A_i)P(B/A_i)}{ \sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B/A_i)}$

i = 1,2,3,..., n

"تعريف الإحتمال المشروط"

مثال: إذا تعطلت السياره يوم السبت في الثامن من شهر نيسان فان احتمال تغيب احمد

عن الحفله في ذلك اليوم هو 0.7 يوجد في هذه الجمله حدثان :

الحدث A - تعطل السياره يوم السبت في الثامن من شهر ابريل.
الحدث B - تغيب أحمد عن الحفله .

نلاحظ أن الحدث B متعلق في الحدث A، من المعطى نفهم انه إذا حدث A فان احتمال حدوث B هو 0.7 .
وبالرموز : P(B/A)=0.7
مثال آخر : عند إلقاء حجر نرد مرة واحدة ما هو احتمال ظهور "عدد اكبر من 3) ؟
نرمز :"A =عدد أكبر من 3"

$P(A) =\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

إذا علم أن النتيجة التي ظهرت عي "عدد زوجي"، فما هو احتمال ظهور "عدد أكبر من 3" ؟
نرمز B -عدد زوجي $P(B) =\frac{2}{3}$

من المثال نرى أن المعلومة "ظهور عدد زوجي" غير احتمال "ظهور عدد أكبر من 3"

ليكن A و B حدثين في الفضاء العيني Ω بحيث أن n(A)≠ 0 فان احتمال وقوع الحدث B
إذا علمنا أن الحدث A قد حصل يرمز له بالرمز (P(B/A

نظرية :
$P(B/A) = \frac{A \cap B}{n(A)}$